Sistemas de numeração decimal e binário, e transformações de base

Sistemas de Numeração:
    • Os computadores são formados por circuitos digitais;
    • A informação e os dados são codificados em zeros e uns (linguagem máquina).

Representação dos Dados no Computador:
    • Dados:
        - Memória do computador e mídia de armazenamento;
        - Códigos convencionados e expressos em um sistema de numeração adequado.

Exemplos:
    • Códigos: ASCII, EBCDIC;
    • Sistemas de Numeracão: Decimal, Binário, Octal, Hexadecimal.

Decimal (base 10)
    • Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;
    • Sistema usual no cotidiano humano (fora do computador);
    • Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, qualquer número acima disso pode ser expresso usando o sistema de peso por posicionamento, conforme o exemplo a seguir:
        3 x 10 ⁿ (seria 10 elevado a 3)3 + 5 x 10(2 elevado) + 4 x 10(1 elevado) + 6 x 100 3000 + 500 + 40 + 6 = 3546

Binário (base 2)
    • Algarismos: 0 e 1;
    • Sistema de numeração empregado em sistemas computacionais;
    • Os dígitos binários chamam-se bits.

Octal (base 8)
    • Algarismos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 e 7;
    • O Sistema Octal foi criado com o propósito de minimizar a representação de um número binário e facilitar a manipulação humana.

Hexadecimal (base 16)
    • Algarismos: números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 letras A, B, C, D, E e F;
    • Empregado na representação de números grandes, e.g. endereços de memória.

bit - unidade mínima de informação com que os sistemas informáticos trabalham.
Binary Digit - BIT(0 1)
UNIDADE MÍNIMA DE INFORMAÇÃO
1 byte - 8 bits
1 Kbyte - 1024 bytes
1 Mbyte - 1024 Kbytes
1 Gbyte - 1024 Mbytes
1 Tbyte - 1024 Gbytes

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
    • Sistema de numeração binária utiliza combinações dos dígitos 0 e 1;
    • Toda a informação que circula dentro de um sistema informático é organizada em grupos de bits;
    • Os mais frequentes são os múltiplos de 8 bits: 8, 16, 32, etc;
    • 1 Byte - 8 bits - 256 combinações possíveis;
    • No sistema binário (0 e 1), para determinar o número de combinações com n bits, basta calcular 2n.
Exemplos:
    • 1 bit – 2(elevado1)=2 combinações possíveis (0 e 1);
    • 2 bit – 2(elevado2)=4 combinações possíveis:
        00
        01
        10
        11
    • 3 bit – 2(elevado3)=8 combinações possíveis:
        000
        001
        010
        011
        100
        101
        110
        111
    • 4 bit – 2(elevado4)=16 combinações possíveis:
        0000
        0001
        0010
        0011
        0100
        0101
        0110
        ....
        1111

Sistema de numeração decimal
1998 = 1x1000 + 9x100 + 9x10 + 8x1 = 1x10(elevado3) + 9x10(elevado2 + 9x10(elevado1) + 8x100

Mudança de base
Ou decomposição, é conversão de um número escrito em uma determinada base para uma outra qualquer, exemplo:
    • Base 10: (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
        5.386 = 5 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 6 = 5 x 10³ + 3 x 10² + 8 x 10¹ + 6 x 10º;
    • Base 8: (0 1 2 3 4 5 6 7 8)
        1234( base8) = 1 x 8³ + 2 x 8² + 3 x 8¹ + 4 x 8º;
        1234( base8) = 1 x 512 + 2 x 64 + 3 x 8 + 4 x 1;
        1234( base8) = 512 + 128 + 24 + 4;
        1234( base8) = 668( base10) Transformação para a base 10.
    • Base 16: (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F)
        1A2F(base16) = 1 x 16³ + A x 16² + 2 x 16¹ + F x 16º = 1 x 16³ + 10 x 16² + 2 x 16¹ + 15 x 16º = 4096 + 2560 + 32 + 15 = 6693(base10)

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    00000
    10001
    20010
    30011
    40100
    50101
    60110
    70111
    81000
    91001

BINÁRIO
    01

Conversão de decimal para binário
Efetuar divisões sucessivas por 2 até se obter o quociente 1;
Agrupar o último quociente e todos os restos da divisão encontrados por ordem inversa.
   
Conversão de binário para decimal
• Começando a ler o número da direita para a esquerda:
    - Primeiro digito representa a potência de base 2 e expoente 0;
    - Segundo digito representa a potência de base 2 e expoente 1;
    - Terceiro digito representa a potência de base 2 e expoente 2;
    - nésimo digito representa a potência de base 2 e expoente n-1;
• Somar as multiplicações parciais efectuadas entre o dígito e a potência a ele atribuída.

Conversão Decimal para Octal
• Valor: 714 - divisão 8

Conversão Decimal Hexadecimal
• Valor Decimal: 714 – divisão 16

Conversão Binário para Octal
• 101011002
• Separa em 3 casas (dígitos)
    010    101    100 (verifica a tabela)
     2    5    4
    Valor octal = 254 (base8)

Conversão Octal para Binário – Agrupamento 3 dígitos
• Valor: 123(base8)
    1    2    3
    001    010    011
    Valor: 001010011(base2)

Conversão Octal para Hexadecimal
• 1057(base8)
    1    0    5    7
    001    000    101    111    -octal para binário -tabela
   
    0010    0010    1111    – agrupamento 4 dígitos
    2    2    f    = 22f(base16)

Hexadecimal para Octal
• 1F4
    1    F    4
    0001    1111    0100    (converter binario)
    000    111    110    100    (3 digitos octal)
    0    7    6    4    = 764(base8)

Tabela de conversão de números
Decimal    Binário    Octal    Hexadecimal 
0    0000     0     0
1     0001     1     1
2     0010     2     2
3     0011     3     3
4     0100     4     4
5     0101     5     5
6     0110     6     6
7     0111     7     7
8     1000     10      8
9     1001    11     9
10    1010      12     A
11     1011     13     B
12     1100     14     C
13     1101     15     D
14     1110     16    E
15    1111       17     F

Códigos de Representação de Dados
ASCII (American Standard Code for Interchange Information):
    • Mais usado em microcomputadores;
    • Representação de 256 caracteres diferentes (e.g.em um teclado alfanumérico) codificação em 8 bits;
    • 128 símbolos universais;
    • 128 símbolos adicionais, passíveis de variações de país para país.
    Exemplo: Letra A.
        Representação: 41(base16) = 0100 0001(base2)
EBCDIC (Extended Binary Code Decimal Interchange Code):
    • Mais usado em mainframes.
    Exemplo: Algarismo 1.
        Representação: F1(base16) = 1111 0001(base2).

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